Перед отъездом за границу погасил все задолженности, а в аэропорту в вылете отказали. Объяснили тем, что в базе задолженности есть. Как такое может быть?

Существует государственная информационная система учета государственных и муниципальных платежей. В ней ваш платеж должен быть зафиксирован. Вероятно, произошла какая-то накладка. В данной ситуации вам придется чем-то подтвердить погашение задолженности.